Question

7．在△ABC中，∠ABC=90°，AC=BC，直線l經(jīng)過點C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分別為D、E，直線l繞點C旋轉(zhuǎn)時，DE、AD、BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說出你的猜想，并證明．

Answer 1

分析 畫出如圖1、2、3，分三種情況：
（1）DE=AD+BE，首先證明△ACD≌△CBE，可得AD=CE，CD=BE，進而得到DE=CE+CD=AD+BE；
（2）DE=AD-BE，首先證明△ADC≌△CEB，可得AD=CE，DC=BE，進而得到DE=AD-BE；
（3）與（2）類似，可證出DE=BE-AD

解答 解：（1）DE=AD+BE．
證明：∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△DAC和△ECB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠ECB}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；
（2）DE=AD-BE；
∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）DE=BE-AD．
和（2）一樣可證△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)．