Question

2．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AB為⊙O的直徑，$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，過D點(diǎn)作DE⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且ED延長(zhǎng)線交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）求證：PE為⊙O的切線；
（2）若PD=BD=2$\sqrt{3}$，求PD，PA與所圍成的陰影面積（保留根號(hào)和π）．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$得到∠ABD=∠CBD，加上∠OBD=∠ODB，則∠ODB=∠CBD，于是可判斷OD∥BC，由于DE⊥BC，所以O(shè)D⊥DE，則可根據(jù)切線的判定定理得到PE為⊙O的切線；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由DP=DB得∠P=∠PBD，則∠P=∠PBD=∠EBD，利用三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠P=30°，則∠POD=60°，再利用∠P的正切可計(jì)算出OD=2，然后根據(jù)扇形的面積公式和S_陰影部分=S_△POD-S_扇形AOD進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABD=∠CBD，
而OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴PE為⊙O的切線；
（2）解：∵DP=DB，
∴∠P=∠PBD，
∴∠P=∠PBD=∠EBD，
而∠P+∠PBD+∠EBD=90°，
∴∠P=30°，
∵OD⊥PD，
∴∠POD=60°，
∵tan∠P=$\frac{OD}{PD}$，
∴OD=2$\sqrt{3}$tan30°=2，
∴S_陰影部分=S_△POD-S_扇形AOD
=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$
=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了扇形面積的計(jì)算．