Question

如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2，點A在x軸負(fù)半軸上，點B在坐標(biāo)原點．

點D的坐標(biāo)為（，3），拋物線y=ax²+b（a≠0）經(jīng)過AB、CD兩邊的中點．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF．設(shè)菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜）

①當(dāng)t=1時，△ADF與△DEF是否相似？請說明理由；

②連接FC，以點F為旋轉(zhuǎn)中心，將△FEC按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得△FE′C′，當(dāng)△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

Answer 1

解：（1）由題意得AB的中點坐標(biāo)為（﹣，0），

CD的中點坐標(biāo)為（0，3）， …………………………2分

分別代入y=ax²+b得

，解得，，

∴y=﹣x²+3．      ……………………………3分                               

（2）①如圖2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2

 

 

∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°

∴EC=BC=，DE=……………………………4分

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°

∴∠ADC=180°﹣60°=120°……………………………5分

∵t=1,

∴B點為(1,0)

∴F(1,2) ,E(1,3)

∴EF=1        ……………………………6分

 在Rt△DEF中

tan∠EDF=

∴∠EDF=30⁰

∴∠ADF=∠ADC—∠EDF=120⁰—30⁰=90⁰

∴∠ADF=∠DEF

∴DF=2EF=2……………………………7分

又∵,

∴

∴△ADF∽△DEF……………………………8分

②如圖3所示，依題意作出旋轉(zhuǎn)后的三角形△FE′C′，過C′作MN⊥x軸，分別交拋物線、x軸于點M、點N．

觀察圖形可知，欲使△FE′C′落在指定區(qū)域內(nèi)，必須滿足：EE′≤BE且MN≥C′N．

∵F（t，3﹣t²），∴EF=3﹣（3﹣t²）=t²，∴EE′=2EF=2t²，

由EE′≤BE，得2t²≤3，解得t≤．

∵C′E′=CE=，∴C′點的橫坐標(biāo)為t﹣，

∴MN=3﹣（t﹣）²，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t²，

由MN≥C′N，得3﹣（t﹣）²≥3﹣2t²，解得t≥．

∴t的取值范圍為：．……………………………11分