Question

(1)如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE.求證：CE＝CF；

(2)如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE＝45°，請你利用(1)的結(jié)論證明：GE＝BE＋GD；

(3)運用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：

如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，(BC>AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面積．

 

Answer 1

(1) (2)見解析 (3)108

【解析】

(1)證明：∵四邊形是ABCD正方形，

∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，

∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．

∴CE＝CF.

(2)證明：如圖①，延長AD至F，使DF＝BE，連接CF.

由(1)知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF.

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，

即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°，

∴∠GCF＝∠GCE＝45°.

∵CE＝CF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG.

∴GE＝GF，

∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD.

(3)【解析】
如圖②，過C作CG⊥AD，交AD延長線于G.

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠A＝∠B＝90°，

又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四邊形ABCG為正方形．

∴AG＝BC.

∵∠DCE＝45°，

根據(jù)(1)(2)可知，ED＝BE＋DG.

∴10＝4＋DG，即DG＝6.

設(shè)AB＝x，則AE＝x－4，AD＝x－6，

在Rt△AED中，

∵DE2＝AD2＋AE2，

即102＝(x－6)2＋(x－4)2.

解這個方程，得：x＝12或x＝－2(舍去)．

∴AB＝12.

∴S梯形ABCD＝ (AD＋BC)·AB

＝×(6＋12)×12＝108.

即梯形ABCD的面積為108.