Question

如圖，∠MON=90°，AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．
（1）求∠P的度數(shù)；
（2）若∠MON=80°，其余條件不變，求∠P的度數(shù)；
（3）經(jīng)過（1）、（2）的計算，猜想并證明∠MON與∠P的關系．

Answer 1

解：（1）∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠AOB+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=（∠AOB+∠ABO+∠BAO）+∠AOB=180°+90°=270°
∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN
∴∠BAP=∠BAM，∠ABP=∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=135°
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
∴∠P=180°-135°=45°；

（2）∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠AOB+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=（∠AOB+∠ABO+∠BAO）+∠AOB=180°+80°=260°
∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN
∴∠BAP=∠BAM，∠ABP=∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=130°
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
∴∠P=180°-130°=50°；

（3）∠MON+2∠P=180°
∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠MON+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠MON+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO=（∠MON+∠ABO+∠BAO）+∠MON=180°+∠MON
∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN
∴∠BAP=∠BAM，∠ABP=∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=（180°+∠MON）
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
（180°+∠MON）+∠P=180°
∴∠MON+2∠P=180°．
分析：（1）利用外角性質，求得∠BAM+∠ABN=270°；由AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=135°，由三角形內角和定理，∴∠P=180°-135°=45°；
（2）與問題（1）的思路相同；
（3）利用外角性質，求得∠BAM+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO=（∠MON+∠ABO+∠BAO）+∠MON=180°+∠MON；由AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．求∠BAP+∠ABP，由三角形內角和定理，∠BAP+∠ABP+∠P=180°從而求所求的度數(shù)．
點評：考查三角形外角性質、內角和定理，角平分線的定義等知識．