Question

已知二次函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3　（m＞0）
（1）求證：它的圖象與x軸必有兩個不同的交點；
（2）這條拋物線與x軸交于A（x₁，0）和B（x₂，0）（x₁＜x₂），與y軸交于點C，且AB=4，⊙M過A、B、C三點，求扇形MAC的面積S；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P使△PBD（PD垂直于x軸，垂足為D）被直線BC分成面積比為1：2的兩部分？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3 （m＞0）
∴△=（m-3）²-4（-3）m
=m²-6m+9+12m
=m²+6m+9
=（m+3）²
∵m＞0，
∴m+3＞3，
∴（m+3）²＞9，
∴（m+3）²＞0，
∴拋物線與x軸有兩個不同的交點．

（2）∵y=mx²+（m-3）x-3=（mx-3）（x+1），
∴x₁=-1，x₂=，
∴AB=-（-1）=4，
即m=1；
∴y=x²-2x-3，
得A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，
∵AC==，
∵AM=CM，
∴AM==，
∴R=，S=π．

（3）設PD與BC的交點為E，知道B點、C點的坐標，設直線BC的解析式為y=kx+b，則有：
，解得：，
∴直線BC解析式為：y=x-3，
設P（x，x²-2x-3）；當S_△BED：S_△BEP=1：2時，PD=3DE，
得-（x²-2x-3）=-3（x-3），解得x=2或3，
∴ 或（舍去）
∴P（2，-3）；
當S_△PBE：S_△BED=1：2時，同理可得P（，-），
故存在P（2，-3）或P（，-）．
分析：（1）要證明拋物線與x軸有兩個不同的交點，只要證明△＞就可以了．
（2）根據(jù)拋物線的解析式，可表示出A、B的坐標，根據(jù)AB=4，可求出m的值，從而確定該拋物線的解析式，即可得到A、B、C的坐標；根據(jù)B、C的坐標，可得到∠OBC=45°，根據(jù)圓周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的長易求得，即可得到半徑AM、MC的長，利用扇形的面積公式，即可求得扇形AMC的面積．
（3）設PD與BC的交點為E，此題可分成兩種情況考慮：
①當△BPE的面積是△BDE的2倍時，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它們的面積比等于底邊的比，即DE=PD，可設出P點的坐標，那么E點的縱坐標是P點縱坐標的，BD的長為B、P橫坐標差的絕對值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作為等量關系求出P點的坐標；
②當△BDE的面積是△BPE的2倍時，方法同①．
點評：此題是二次函數(shù)的綜合類題目，考查了拋物線的圖象與x軸交點坐標的判定、二次函數(shù)解析式的確定、圓周角定理的運用、扇形面積的計算方法以及圖形面積的求法等知識，綜合性強，難度稍大．