Question

3．如圖1，已知∠MON=90°，點A、B分別是∠MON的邊OM，ON上的點．且OA=OB=1，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到線段OC，∠AOC的角平分線OP與直線BC相交于點P，點D是線段BC的中點，連接OD．
（1）若α=30°，如圖2，∠P的度數(shù)為45°；
（2）若0°＜α＜90°，如圖1，求∠P的度數(shù)；

（3）在下面的A、B兩題中任選一題解答．
A：在（2）的條件下，在圖1中連接PA，求PA²+PB²的值．
B：如圖3，若90°＜α＜180°，其余條件都不變．請在圖3中畫出相應的圖形，探究下列問題：①直接寫出此時∠P的度數(shù)；②求此時PC²+PB²的值．
我選擇A或B題．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)30°，求得∠COP的度數(shù)，再判定△BOC是等邊三角形，求得∠OCB的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)，求得∠P的度數(shù)；
（2）先根據(jù)等腰三角形BOC，利用三線合一，求得∠COD的度數(shù)為$\frac{1}{2}$（90°-α），再根據(jù)OP平分∠AOC，求得∠POC=$\frac{1}{2}$α，最后根據(jù)∠POD=∠POC+∠COD，求得∠POD為45°，進而根據(jù)∠P與∠POD互余，求得∠P的度數(shù)；
（3）選擇A題，先判定△AOP≌△COP（SAS），得出∠APB=90°，再根據(jù)勾股定理得到：PA²+PB²=AB²=OA²+OB²，根據(jù)OA=OB=1，進行計算即可．選擇B題，先判定△ODP為等腰直角三角形，求得∠P的度數(shù)，再根據(jù)PC²+PB²=（PD+BD）²+（PD-BD）²進行推導即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖2，若α=30°，則∠COP=$\frac{1}{2}$∠AOC=15°，∠BOC=60°，
∵CO=AO=BO，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠P的度數(shù)為：60°-15°=45°，
故答案為：45°；

（2）證明：由旋轉(zhuǎn)得，OA=OC，∠AOC=α，
∵OA=OB，
∴OC=OB，
∵點D是線段BC的中點，
∴OD⊥BC，∠COD=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠AOB=90°，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$（90°-α），
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=$\frac{1}{2}$α，
∴∠POD=∠POC+∠COD=45°，
∵∠ODP=90°，
∴∠P=90°-45°=45°；

（3）選擇A題．
如圖1，連接AB、AP，
∵OP平分∠AOC，
∴∠AOP=∠COP，
在△AOP和△COP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOP=∠COP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠APO=∠CPO=45°，
∴∠APB=90°，
∴在Rt△APB中，由勾股定理得，PA²+PB²=AB²，
∵在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB²=OA²+OB²=1²+1²=2，
∴PA²+PB²=2．

選擇B題．
①∠P=45°．
理由：如圖3，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，OC=OA=OB，
∵D是BC中點，
∴OD⊥BC，即∠ODP=90°，
且OD平分∠BOC，
又∵OP平分∠AOC，
∴∠DOP=∠COP-∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴Rt△ODP中，∠P=45°；
②PC²+PB²的值為2．
理由：∵OD⊥BC，∠P=45°，
∴△OPD是等腰直角三角形，
∴PD=OD，
∵PC=PD+BD，PB=PD-BD，
∴PC²+PB²
=（PD+BD）²+（PD-BD）²
=2PD²+2BD²
=2（PD²+BD²）
=2（OD²+BD²）
=2×OB²
=2×1²
=2
故PC²+PB²的值為2．

點評 本題以旋轉(zhuǎn)為背景，主要考查了等邊三角形、全等三角形以及勾股定理的綜合應用．在圖形的旋轉(zhuǎn)過程中，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，故對應角相等，對應邊相等，這是解決旋轉(zhuǎn)問題的關(guān)鍵．等邊三角形的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件，等邊三角形具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件．