Question

如圖，直線y=-

5

12

x+5與x軸、y軸的交點分別為A、B，點M在線段AB上，且AM=6，動點P從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿x軸向點A運動（點P與點O、A 均不重合）．設(shè)點P運動t秒時，△APM的面積為S．
（1）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；
（2）在運動過程中，是否存在S=

15

2

的情形？若存在，請判斷此時△APM的形狀，并說明理由；若不存在，請說明理由；
（3）在運動過程中，當(dāng)△APM為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）過M作MD⊥OA于D，先通過一次函數(shù)的解析式求得A與B的坐標，得到OA，OB和AB的長；易證得Rt△AMD∽Rt△ABO，通過相似比可求出MD=

30

13

，AD=

72

13

，而PA=12-2t，再根據(jù)三角形的面積公式得到S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由S=

15

2

和（1）的函數(shù)關(guān)系得到-

30t

13

+

180

13

=

15

2

，解方程得到t的值，得到PA的長，根據(jù)三角形相似的判定得到△APM∽△ABO，則∠AMP=∠AOB=90°；
（3）分類討論：利用等腰三角形的性質(zhì)得到線段相等，建立關(guān)于t的方程．當(dāng)MP=MA，則AP=2AD，12-2t=

72

13

×2；當(dāng)AM=AP，則12-2t=6；當(dāng)PA=PM，過P作PC⊥MA于C，
易得Rt△APC∽Rt△ABO，則PA：AB=AC：AO，得到PA=

13

4

，則12-2t=

13

4

，分別解方程即可．

解答：解：（1）過M作MD⊥OA于D，如圖，
令x=0，y=5；令y=0，x=12，
∴OA=12，OB=5，
∴AB=13，
∵MD∥OB，
∴Rt△AMD∽Rt△ABO，
∴MD：OB=AD：AO=AM：AB，
而AM=6，
∴MD=

30

13

，AD=

72

13

，
又OP=2t，則PA=12-2t，
∴S=

1

2

MD•PA=

1

2

•

30

13

•（12-2t）=-

30t

13

+

180

13

（0＜t＜6）；

（2）存在S=

15

2

的情形，此時△APM為直角三角形．理由如下：
∵-

30t

13

+

180

13

=

15

2

，
∴t=

11

4

，
∴PA=12-2t=12-2×

11

4

=

13

2

，
∴AP：AB=AM：AO=1：2，
而∠PAM=∠BAO，
∴△APM∽△ABO，
∴∠AMP=∠AOB=90°，
即△APM是以AP為斜邊的直角三角形；

（3）當(dāng)MP=MA，
∴DP=DA，即AP=2AD，
∴12-2t=

72

13

×2，
∴t=

6

13

；
當(dāng)AM=AP，
∴12-2t=6，
∴t=3；
當(dāng)PA=PM，過P作PC⊥MA于C，如右圖，
∴AC=MC=3，
∵Rt△APC∽Rt△ABO，
∴PA：AB=AC：AO，即PA：13=3：12，
∴PA=

13

4

，
∴12-2t=

13

4

，
∴t=

35

8

；
所以△APM為等腰三角形時，t的值為

6

13

秒或3秒或

35

8

秒．

點評：本題考查了一次函數(shù)與三角形相似的綜合運用：利用一次函數(shù)確定線段的長度，根據(jù)三角形相似的判定與性質(zhì)建立函數(shù)關(guān)系和方程．也考查了等腰三角形的性質(zhì)以及分類討論思想的運用．