Question

已知：如圖，在△ABC中，AC=AB，CD⊥AB于點D，過點A作AE⊥AC交CB的延長線于點E，EG⊥AB交AB延長線于點G．求證：
（1）EC平分∠AEG；
（2）AD=BG．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠ABC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACE+∠AEC=∠EBG+∠BEG=90°，根據(jù)∠ACB=∠ABC=∠EBG求出∠AEC=∠BEG，即可得出答案；
（2）過點B作BF⊥AE于點F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出BF=BG，證△ACD≌△BAF，推出AD=BF即可．

解答：證明：（1）∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵AE⊥AC，EG⊥AB，
∴∠CAE=∠AGE=90°，
∴∠ACE+∠AEC=∠EBG+∠BEG=90°，
又∵∠ACB=∠ABC=∠EBG，
∴∠AEC=∠BEG，
即：EC平分∠AEG；

（2）過點B作BF⊥AE于點F，
∴∠AFB=90°，
由（1）知EC平分∠AEG，
∴BF=BG，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°=∠AFB，
∴∠ACD=∠FAB，
在△ACD和△BAF中，

∠ACD=∠BAF ∠ADC=∠AFB AC=AB

，
∴△ACD≌△BAF（AAS），
∴AD=BF，
∴AD=BG．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．