Question

已知拋物線y=-x²+（m-2）x+3（m+1）交x軸于A（x₁，0），B（x₂，0），交y軸的正半軸于C點(diǎn)，且x₁＜x₂，|x₁|＞|x₂|，OA²+OB²=2OC+1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)C的直線．如果存在，求符合條件的直線的表達(dá)式；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由條件知AO=|x₁|=-x₁，OB=|x₂|=x₂，OC=3（m+1），
∵OA²+OB²=2OC+1，x₁²+x₂²=6（m+1）+1，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6（m+1）+1，
即（m-2）²+6（m+1）=6（m+1）+1，
得：m₁=3，m₂=1，
∵x₁＜x₂，|x₁|＞|x₂|，
∴x₁＜x₂=m-2＜0，
∴m=1．
∴函數(shù)的解析式為y=-x²-x+6

（2）存在與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)C的直線．
C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6），
①當(dāng)直線過C（0，6）且與x軸垂直時(shí)，直線也拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴直線x=0．
②過C點(diǎn)的直線y=kx+6，與拋物線y=x²-x+6只有一個(gè)公共點(diǎn)C，
即

y=-x2-x+6 y=kx+6

，只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．
∴x²-（k+1）x=0，
又∵△=0，
∴（k+1）²=0，
∴k=-1，
∴y=-x+6．
∴符合條件的直線的表達(dá)式為y=-x+6或x=0．