Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C，過點A作直線l的垂線，垂足為點D，連接AC．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若AD=3，AC=，求直徑AB的長．

Answer 1

（1）證明：連接OC，直線l與⊙O相切于點C
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠2，
又∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
即AC平分∠DAB．

（2）解法一：連接BC，∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
由（1）知，∠1=∠3
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴直徑AB的長是4．
解法二：在Rt△ADC中，AD=3，AC=，
∴，
即∠1=30°，
由（1）知，∠3=∠1=30°，
連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，，，AB=4
∴直徑AB的長是4．
評分細則：第2問解法較多，其它解法參照本評分說明分步給分；
分析：（1）連接OC，可證得OC∥AD，根據(jù)平行線性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)，可得∠DAC=∠CAO，即得AC平分∠DAB；
（2）通過構(gòu)造直角三角形，利用特殊角三角函數(shù)和勾股定理，即可求得AB的長．
點評：本題涉及到切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定、特殊角的三角函數(shù)、解直角三角形等多方面的知識，是一道綜合題型，考查學生各知識點的綜合運用能力．