Question

數(shù)學課上，張老師正在上課：同學們，我們學過四個頂點在圓上的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形的對角（相對的兩個角）互補．下面我們來研究它外角的性質．

（1）在圖①中作出圓內(nèi)接四邊形ABCD中以點C為頂點的外角∠DCE，并請你探究外角∠DCE與它的相鄰內(nèi)角的對角（簡稱內(nèi)對角）∠A的關系，并證明∠DCE與∠A的關系；
（2）分別延長BD、AD到點F、E，如圖②，已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，如果DE平分∠FDC，請你探索AB與AC有怎樣的數(shù)量關系呢？
（3）如圖③，點D是圓上一點，弦AB=

3

，DC是∠ADB的平分線，∠BAC=30°．當∠DAC等于多少度時，四邊形DACB有最大面積？最大面積是多少？

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質即可得出結論；
（2）先根據(jù)四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形得出∠2=∠ABC，再根據(jù)∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB得出∠1=∠ACB，由DE平分∠FDC可知∠1=∠2所以∠ABC=∠ACB，由此可得出結論；
（3）根據(jù)DC平分∠ADB可知∠ADC=∠BDC，再由∠ADC=∠ABC，∠BDC=∠BAC，得出∠ABC=∠BAC，進而AC=BC，由直角三角形的性質得出AC=BC=1，由于S_{四邊形DACB}=S_△ABC+S_△DAB
S_△ABC為定值，當S_△DAB最大時，四邊形DACB面積最大，要使四邊形DACB面積最大，只需求出面積最大的△DAB 即可在△DAB中，AB邊不變，當點D是AB的中垂線與圓的交點時，四邊形DACB面積最大，此時△DAB為等邊三角形，此時DC應為圓的直徑，∠DAC=90°，根據(jù)∠ADC=∠BAC=30°可知DC=2AC=2，由此可得出結論．

解答：解：（1）畫圖如圖，∠DCE=∠A．
證明：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠DCE+∠BCD=180°
∠DCE=∠A；

（2）AB=AC，
證明：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠2=∠ABC，
∵∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB，
∴∠1=∠ACB，
∵DE平分∠FDC，
∴∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC=∠BDC，
又∵∠ADC=∠ABC，∠BDC=∠BAC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴AC=BC，
∵AB=

3

，∠BAC=30°，
∴AC=BC=1，
∵S_{四邊形DACB}=S_△ABC+S_△DAB
S_△ABC為定值，當S_△DAB最大時，四邊形DACB面積最大，
要使四邊形DACB面積最大，只需求出面積最大的△DAB 即可
在△DAB中，AB邊不變，當點D是AB的中垂線與圓的交點時，四邊形DACB面積最大
此時△DAB為等邊三角形，此時DC應為圓的直徑，∠DAC=90°
∵∠ADC=∠BAC=30°，
∴DC=2AC=2，
∴四邊形DACB的最大面積=

1

2

×

3

×2=

3

．

點評：本題考查的是圓的綜合題，熟知圓內(nèi)接四邊形的性質、直角三角形的性質等知識是解答此題的關鍵．