Question

平面直角坐標(biāo)中，直線OA、OB都經(jīng)過第一象限（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），且滿足∠AOB=45°，如直線OA的解析式為y=kx，現(xiàn)探究直線OB解析式情況．

（1）當(dāng)∠BOX=30°時（如圖1），求直線OB解析式；
（2）當(dāng)k=2時（如圖2），探究過程：OA上取一點(diǎn)P（1，2）作PF⊥x軸于F，交OB于E，作EH⊥OA于H，則=______，根據(jù)以上探究過程，請求出直線OB解析式；
（3）設(shè)直線OB解析式為y=mx，則m=______（用k表示），如雙曲線交OA于M，交OB于N，當(dāng)OM=ON時，求k的值．

Answer 1

解：（1）在OB上任取一點(diǎn)C，作CD⊥x軸與點(diǎn)D，設(shè)CD=a，
∵∠1=30°，
∴OC=2CD=2a，
在Rt△ODC中，由勾股定理，得
OD=a，
設(shè)OB的解析式為y=kx，由題意，得
a=ak，
k=．
∴OB的解析式為：y=x；

（2）∵PF⊥x軸，P（1，2），
∴OF=1，PF=2，
∴由勾股定理，得
OP=．
∴tan∠OPF=．
∵EH⊥OA，
∴∠EHP=90°，
∴=，
設(shè)EH=x，PH=2x，
∴PE=x
∴OH=-2x．
∵∠HOE=45°，
∴OH=EH=x，
∴x=-2x，=．
∴x=
∴AE=，
∴EF=
∴E（1，）．
設(shè)OB的解析式為y=k₁x，由題意，得
k₁=．
∴OB的解析式為y=x；

（3）k＞1時，同上可得m=，
0＜k＜1時，m=
k＞1時，設(shè)M（1，k），則N（k，1），代入可得，k²-2k-1=0，k=；
0＜k＜1時，同理可得k=．
故答案為：；（k＞1）或（0＜k＜1）．
分析：（1）在OB上任取一點(diǎn)C，作CD⊥x軸與點(diǎn)D，設(shè)CD=a，由勾股定理可以得出OD=a，設(shè)OB的解析式為y=kx，運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出結(jié)論；
（2）由條件和勾股定理可以求出E點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出OB的解析式；
（3）分k＞1時，0＜k＜1時，兩種情況用k表示出m；分k＞1時，0＜k＜1時，兩種情況求出k的值．
點(diǎn)評：考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：勾股定理，待定系數(shù)法，三角函數(shù)，分類思想和方程思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．