Question

17．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，OD⊥AB于點(diǎn)O，分別交AC、CF于點(diǎn)E、D，且CF是⊙O的切線．
（1）求證：DE=DC；
（2）若⊙O的半徑為5，OE=1，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)以及直角三角形的兩銳角互余，和等腰三角形的性質(zhì)證得∠DEC=∠ACD，根據(jù)等角對等邊即可證得；
（2）作DF⊥EC于點(diǎn)F，根據(jù)△AOC∽△ACB，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求得AC的長，則EF即可求得，然后根據(jù)△AOE∽△DFE，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求得．

解答 （1）證明：連接OC．
∵CF是切線，
∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，
∵OD⊥AB于點(diǎn)O，
∴∠A+∠AEO=90°，
又∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠AEO=∠ACD，
∵∠DEC=∠AEC，
∴∠DEC=∠ACD，
∴DE=DC；
（2）作DF⊥EC于點(diǎn)F．
在直角△AOE中，AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$．
∵AB是圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{OE}{BC}$，即$\frac{\sqrt{26}}{10}$=$\frac{1}{BC}$，
∴BC=$\frac{5\sqrt{26}}{13}$．
∴在直角△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-（\frac{5\sqrt{26}}{13}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{610}}{13}$．
則EC=AC-AE=$\frac{5\sqrt{610}-13\sqrt{26}}{13}$．
∵DE=DC，DF⊥EC，
∴EF=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{5\sqrt{610}-13\sqrt{26}}{26}$．
∵∠AEO=∠DEF，∠AOE=∠EFD=90°，
∴△AOE∽△DFE，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{OE}{EF}$，即$\frac{\sqrt{26}}{DE}$=$\frac{26}{5\sqrt{610}-13\sqrt{26}}$，
∴DE=$\sqrt{26}$•$\frac{5\sqrt{610}-13\sqrt{26}}{26}$=$\frac{10\sqrt{3965}-338}{26}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的切線的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，求得EC的長是關(guān)鍵．