Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D為圓上兩點，且CB=CD，CF⊥AB于點F，CE⊥AD的延長線于點E．
（1）試說明：DE=BF；
（2）若∠DAB=60°，AB=6，求CF的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,角平分線的性質,圓心角、弧、弦的關系,圓周角定理

專題：

分析：（1）由CB=CD，根據(jù)等弦對的圓周角相等，得到一對角相等，繼而得到AC為角平分線，利用角平分線定理得到CE=CF，利用HL得到三角形CDE與三角形CBF全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）根據(jù)AC為角平分線，且∠DAB=60°，得到∠BAC=30°，在直角三角形ABC中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出BC的長，利用勾股定理求出AC的長，在直角三角形ACF中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出CF的長．

解答：（1）證明：∵CB=CD，
∴∠BAC=∠EAC，
∵CE⊥AE，CF⊥AF，
∴CE=CF，
在Rt△CED和Rt△CFB中，

CE=CF CD=CB

，
∴Rt△CED≌Rt△CFB（HL），
則DE=BF；
（2）∵∠BAC=∠EAC，且∠DAB=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，
∴BC=

1

2

AB=3，
根據(jù)勾股定理得：AC=

62-32

=3

3

，
在Rt△ACF中，CF=

1

2

AC=

3

2

3

．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，圓周角定理，圓心角、弦及弧之間的關系，以及角平分線定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．