Question

如圖，根據(jù)圖形解答下列問題
（1）如圖，以△ABC三邊向外分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，證明四邊形ADFE是平行四邊形．
（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形ADFE是矩形？
（3）△ABC滿足什么條件時，四邊形ADFE是菱形？
（4）△ABC滿足什么條件時，四邊形ADFE是正方形？

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定,矩形的判定,正方形的判定

專題：

分析：（1）可通過證△EFB≌△ACB，得EF=AC=AD；然后證△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；從而證得四邊形ADFE的兩組對邊分別相等，即可得出ADFE是平行四邊形；
（2）當(dāng)∠BAC=150°，由此可求得∠EAD的度數(shù)，則可得ADFE是矩形；
（3）當(dāng)AE=AD時，ADFE是菱形；
（4）當(dāng)ADFE是正方形時，∠EAD=90°，且AE=AD，聯(lián)立（2）（3）的結(jié)論即可．

解答：解：（1）連接EF、DF，
∵△ABE、△CBF是等邊三角形，
∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC=60°；
∴∠EBF=∠ABC=60°-∠ABF；
∴△EFB≌△ACB；
∴EF=AC=AD；
同理由△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；
由AE=DF，AD=EF即可得出四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）若∠BAC=150°，則平行四邊形AEFD是矩形；
由（1）知四邊形AEFD是平行四邊形，則∠EAD=90°時，可得平行四邊形AEFD是矩形，
∴∠BAC=360°-60°-60°-90°=150°，
即△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形AEFD是矩形；

（3）若AB=AC，則平行四邊形AEFD是菱形；
此時AE=AB=AC=AD，即△ABC是等腰三角形；
故△ABC滿足AB=AC時，四邊形AEFD是菱形；

（4）綜合（2）（3）的結(jié)論知：當(dāng)△ABC是頂角∠BAC是150°的等腰三角形時，四邊形AEFD是正方形．

點(diǎn)評：考查了平行四邊形及特殊平行四邊形的判定，熟練掌握特殊四邊形的判定方法和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．