Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣ x+3與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P，Q分別為AB邊，OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)分別從點(diǎn)A，點(diǎn)O以每秒1個(gè)單位速度向終點(diǎn)B勻速移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）請(qǐng)寫出點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）試求△OPQ的面積S與移動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？并求出S的最大值；
（3）試證明無(wú)論t為何值，△OPQ都不會(huì)是等邊三角形；
（4）將△OPQ沿直線PQ折疊，得到△O′PQ，問(wèn)：△OPQ和O′PQ能否拼成一個(gè)三角形？若能，求出點(diǎn)O′的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即A（0.3），當(dāng)y=0時(shí)，﹣ x+3=0，即B（4，0）；

（2）

解：如圖1：作PD⊥x軸于D．

，

OQ=t，AP=t，PB=5﹣t，

sin∠B= = ，

PD=PBsin∠B= （5﹣t），

S= OQPD= t（5﹣t）=﹣ t2+ t，

當(dāng)t= 時(shí)，s最大= ；

（3）

證明：∵OP=OQ=AP=PQ，∠POQ=∠OPQ=60°，

∴∠AOP=∠PAO=30°，

∴∠APO=120°，

∴∠BPQ=60°與∠OPQ=60°矛盾，

∴∠OPQ≠60°，即△OPQ都不會(huì)是等邊三角形；

（4）

解：△OPQ和O′PQ不能拼成一個(gè)三角形，理由如下：

如圖2，作PE⊥y軸于E點(diǎn)．

，

∵AP=OQ＞PE，

∴PQ∥y軸，

∴O點(diǎn)關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)O′不在x軸上，

∴O、Q、O′不在同一條直線上，

∴OPO′Q是四邊形，

△OPQ和O′PQ不能拼成一個(gè)三角形．

【解析】（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；（2）根據(jù)三角函數(shù)，可得PD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得∠POQ=∠OPQ=60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠APO=120°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角，可得∠QPB的度數(shù)，根據(jù)∠QPB與∠OPQ的關(guān)系，可得答案；（4）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得O點(diǎn)關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)O′不在x軸上，根據(jù)四邊形的定義，可得答案．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(zhì)(等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）)，還要掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)(關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．