Question

如圖，正方形AOCB在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點O為原點，點B在反比例函數(shù)（x＞0）圖象上，△BOC的面積為8．
（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若動點E從A開始沿AB向B以每秒1個單位的速度運(yùn)動，同時動點F從B開始沿BC向C以每秒2個單位的速度運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點隨之停止運(yùn)動．若運(yùn)動時間用t表示，△BEF的面積用S表示，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)運(yùn)動時間t取何值時，△BEF的面積最大？
（3）當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，在坐標(biāo)軸上是否存在點P，使△PEF的周長最小？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形AOCB為正方形，
∴AB=BC=OC=OA，
設(shè)點B坐標(biāo)為（a，a），
∵S_△BOC=8，
∴，
∴a=±4
又∵點B在第一象限
點B坐標(biāo)為（4，4），
將點B（4，4）代入得，k=16
∴反比例函數(shù)解析式為；

（2）∵運(yùn)動時間為t，
∴AE=t，BF=2t
∵AB=4，∴BE=4-t，
∴=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時，△BEF的面積最大；

（3）存在．
當(dāng)時，點E的坐標(biāo)為（，4），點F的坐標(biāo)為（4，）
①作F點關(guān)于x軸的對稱點F₁，得F₁（4，），經(jīng)過點E、F₁作直線
由E（，4），F(xiàn)₁（4，）代入y=ax+b得：
，
解得：，
可得直線EF₁的解析式是
當(dāng)y=0時，
∴P點的坐標(biāo)為（，0）
②作E點關(guān)于y軸的對稱點E₁，得E₁（，4），經(jīng)過點E₁、F作直線
由E₁（，4），F(xiàn)（4，）設(shè)解析式為：y=kx+c，
，
解得：，
可得直線E₁F的解析式是：
當(dāng)x=0時，
∴P點的坐標(biāo)為（0，），
∴P點的坐標(biāo)分別為（，0）或（0，）．
分析：（1）首先利用三角形面積求出正方形邊長，進(jìn)而得出B點坐標(biāo)，即可得出反比例函數(shù)解析式；
（2）表示出△BEF的面積，再利用二次函數(shù)最值求法得出即可；
（3）①作F點關(guān)于x軸的對稱點F₁，得F₁（4，），經(jīng)過點E、F₁作直線求出圖象與x軸交點坐標(biāo)即可；
②作E點關(guān)于y軸的對稱點E₁，得E₁（，4），經(jīng)過點E₁、F作直線求出圖象與y軸交點坐標(biāo)即可．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和二次函數(shù)最值問題等知識，利用軸對稱得出對應(yīng)點是解題關(guān)鍵．