Question

如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，O是BC上一點，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓切AB于D，交BC于E，若AC=EC．求證：BD=2BE．

Answer 1

答案：略
解析：

證法一：連接DE、DC、AO． ∵AB切⊙O于D，∴∠BDE=∠DCE． ∵∠B公用，∴△BDE∽△BCD，∴BD∶BE=DC∶DE． ∵∠ACB=90°，OC是半徑，∴AC切⊙O于C．∴AD=AC， ∴AO⊥DC，∴∠DCE=∠CAO．∵EC是直徑，∴∠EDC=90°． ∵∠ACE=90°，∴△CDE∽△ACO．∴CD∶DE=AC∶OC． ∵EC=AC，∴AC∶OC=2∶1．∴BD∶BE=2∶1，∴BD=2BE． 證法二：連接AO、DE、DC．∵EC是直徑，∴∠EDC=90°． 由證法一知AD、AC都是切線，∴AD=AC．∴AO⊥DC， ∴DE∥AO，∴BD∶BE=AD∶EO．∵AC=EC，∴AD=AC=2EO． ∴BD∶BE=AD∶EO=2∶1，∴BD=2BE．

提示：

若證BD=2BE，因為BD與BE兩條線段交于B點，不易直接證．在已知條件中，直角三角形，圓及切線都不直接具備線段的倍半關(guān)系，故條件中的AC=EC，因EC是直徑，所以它應(yīng)是造成結(jié)論成立的主要原因．這時有AC=2OC=2OE，若能溝通它們之間的關(guān)系把比值關(guān)系傳遞到BD∶BE即可．那么就需要利用相似形的知識，不難發(fā)現(xiàn)△BDE∽△BCD，且有BD∶BE=CD∶DE，而CD、DE又是△DEC的兩條直角邊，問題就轉(zhuǎn)化為證△EDC∽△OCA