Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形BCDE的一邊BC平行于x軸，點(diǎn)D在第一象限，直線y=$\frac{3}{4}$x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，且點(diǎn)B是AE的中點(diǎn)，店D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上．
（1）求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)F是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）圖象上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△FBC的面積等于菱形BCDE面積的2倍時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)Q是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）圖象上的點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），點(diǎn)P是直線y=$\frac{3}{4}$x+3上的點(diǎn)，當(dāng)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)一次函數(shù)解析式易得B（0，3）和A（-4，0），再利用點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱(chēng)得到E（4，6），則根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出BE=5，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∴DE=BE=5，BC∥DE，然后寫(xiě)出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先確定反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{54}{x}$，再計(jì)算菱形的面積得到△FBC的面積等于30，設(shè)F（x，y），討論：當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•5•（y-3）=30，解得y=15，則計(jì)算對(duì)應(yīng)的反比例函數(shù)值得到此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)F在第三象限時(shí)，利用同樣方法得到F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（t，$\frac{3}{4}$t+3），利用平行四邊形的性質(zhì)得PQ∥BC，PQ=BC=5，則Q（t-5，$\frac{3}{4}$t+3）或（t+5，$\frac{3}{4}$t+3），討論：當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t-5，$\frac{3}{4}$t+3），利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到（t-5）•（$\frac{3}{4}$t+3）=54，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t+5，$\frac{3}{4}$t+3），同樣得到（t+5）•（$\frac{3}{4}$t+3）=54，然后分別解方程求出t的值，從而得到滿足條件的Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{3}{4}$x+3=3，則B（0，3），
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=-4，則A（-4，0），
∵點(diǎn)B是AE的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱(chēng)，
∴E（4，6），
∴BE=$\sqrt{{4}^{2}+（6-3）^{2}}$=5，
∵四邊形BCDE為菱形，
∴DE=BE=5，BC∥DE，
∵BC平行于x軸，
∴DE∥x軸，
∴D（9，6）；
（2）把D（9，6）代入y=$\frac{k}{x}$得k=9×6=54，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{54}{x}$，
∵菱形BCDE的面積=5×3=15，
∵△FBC的面積等于菱形BCDE面積的2倍，
∴△FBC的面積等于30，
設(shè)F（x，y），
當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，
∴$\frac{1}{2}$•5•（y-3）=30，解得y=15，
當(dāng)y=15時(shí)，$\frac{54}{x}$=15，解得x=$\frac{18}{5}$，此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{18}{5}$，15）；
當(dāng)點(diǎn)F在第三象限時(shí)，
∴$\frac{1}{2}$•5•（3-y）=30，解得y=-9，
當(dāng)y=-9時(shí)，$\frac{54}{x}$=-9，解得x=-6，此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，-9）；
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（$\frac{18}{5}$，15）或（-6，-9）；
（3）設(shè)P（t，$\frac{3}{4}$t+3），
∵B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴PQ∥BC，PQ=BC=5，
∴Q（t-5，$\frac{3}{4}$t+3）或（t+5，$\frac{3}{4}$t+3），
當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t-5，$\frac{3}{4}$t+3），
把Q（t-5，$\frac{3}{4}$t+3）代入y=$\frac{54}{x}$得（t-5）•（$\frac{3}{4}$t+3）=54，
整理得t²-t-92=0，解得t₁=$\frac{1+\sqrt{329}}{2}$，t₂=$\frac{1-\sqrt{329}}{2}$，
此時(shí)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{-9+\sqrt{329}}{2}$或$\frac{-9-\sqrt{329}}{2}$；
當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t+5，$\frac{3}{4}$t+3），
把Q（t+5，$\frac{3}{4}$t+3）代入y=$\frac{54}{x}$得（t+5）•（$\frac{3}{4}$t+3）=54，
整理得t²+4t-52=0，解得t₁=4（舍去），t₂=-13，
此時(shí)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-8，
綜上所述，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為$\frac{-9+\sqrt{329}}{2}$或$\frac{-9-\sqrt{329}}{2}$或-8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)求一次函數(shù)與坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)和解一元二次方程；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．