Question

16．AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，連接AC、BC，直徑DE⊥BC于F．
（1）如圖1，求證：AD=CE；
（2）如圖2，取CE中點M，連接MF并延長，交OB于點N，連接EN．求證：EN⊥OB；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AE交BC于點H，若DF=2EF，CE=6，求AH的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接CD．只要證明AC∥DE，推出∠ACD=∠CDE，得$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$即可．
（2）如圖2中，連接EB．只要證明△BEF≌△EBN，即可推出∠EFB=∠ENB=90°．
（3）如圖3中，連接EB、CD、AF．首先證明四邊形ACEF是平行四邊形，推出AH=HE，求出AE即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接CD．

∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥BC于F，
∴∠DFB=∠ACB=90°，
∴AC∥DE，
∴∠ACD=∠CDE，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$，
∴AD=CE．

（2）證明：如圖2中，連接EB．

在Rt△EFC中，∵CM=ME，
∴FM=CM=ME，
∴∠MCF=∠MFC=∠BFN，
∵OE⊥BC，
∴$\widehat{EC}$=$\widehat{EB}$，
∴∠EBC=∠ECB=∠BFN，
∴FN∥EB，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OFN=∠OEB，∠ONF=∠OBE，
∴∠OFN=∠ONF，
∴OF=ON，
∴EF=NB，
在△BEF和△EBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=NB}\\{∠BEF=∠EBN}\\{BE=EB}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△EBN，
∴∠EFB=∠ENB=90°，
∴EN⊥AB．

（3）解：如圖3中，連接EB、CD、AF．

∵DE是直徑，
∴∠DCE=90°=∠CFE，
∵∠CEF=∠CED，
∴△CEF∽△DEC，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{EF}{EC}$，設(shè)EF=a，則DF=2a，DE=3a（a＞0）
∴36=12a²，
∴a=2$\sqrt{3}$，
∴EF=2$\sqrt{3}$，OE=OD=3$\sqrt{3}$，
∴OF=$\sqrt{3}$，
∵OA=OB，CF=FB，
∴AC=2OF=2$\sqrt{3}$，
∴AC=EF，AC∥EF，
∴四邊形ACEF是平行四邊形，
∴AH=HE，
在Rt△AEB中，∵AB=6$\sqrt{3}$，EC=EB=6，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-E{B}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{3}）^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴AH=$\frac{1}{2}$AE=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查圓綜合題、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．