Question

如圖，△ACO為等腰直角三角形．

（1）若C（-1，3），求A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)A作AE⊥AC，若∠FEO=∠COE，求∠EOF的度數(shù)；
（3）當(dāng)△ACO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，過(guò)C作CN⊥y軸，M為AO的中點(diǎn)，∠MNO的大小是否發(fā)生變化？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）作CD⊥y軸，AB⊥DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，即可求證△ABC≌△CDO，可得BC=OD，AB=CD，即可解題；
（2）易求得直線AE和直線AC的解析式，即可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)∠FEO=∠COE可求得直線EF解析式，即可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得tan∠FOE的值，即可解題；
（3）不變，證明：作MK⊥ON于K點(diǎn)，MF⊥NC于F點(diǎn)，連接MC，即可證△FMC≌△KMO，可得四邊形MKNF為正方形，根據(jù)正方形對(duì)角線即角平分線的性質(zhì)即可解題．

解答：解：（1）作CD⊥y軸，AB⊥DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，

∵∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCO=90°，
∴∠BAC=∠DCO，
在△ABC和△CDO中，

∠ABC=∠CDO=90° ∠BAC=∠DCO AC=CO

，
∴△ABC≌△CDO（AAS），
∴BC=OD=3，AB=CD=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)（-4，2）；
（2）∵AE⊥AC，CO⊥AC，
∴AE∥CO，
設(shè)直線AE解析式為y=-3x+b，
代入A點(diǎn)得：y=-3x-10，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-

10

3

，0），
∵∠FEO=∠COE，
∴設(shè)直線EF解析式為y=3x+b，
代入E點(diǎn)得：直線EF解析式為y=3x+10，
∵直線AC解析式為y=

1

3

x+

10

3

，設(shè)直線EF與AC交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則滿足

y=3x+10 y= 1 3 x+ 10 3

，
解得：x=

5

2

，y=

5

2

．
∴tan∠EOF=1，
∴∠EOF=45°；
（3）不變，理由如下：作MK⊥ON于K點(diǎn)，MF⊥NC于F點(diǎn)，連接MC，

∵∠MFC=∠CNO=∠MKN=90°，
∴∠FMK=90°，四邊形MKNF為矩形，
∵AC=CO，M是AO中點(diǎn)，
∴∠CMO=90°，CM=MO，
∵∠CMO=∠CMK+∠KMO，∠FMK=∠FMC+∠CMK，
∴∠KMO=∠FMC，
在△FMC和△KMO中，

∠MFC=∠MKO=90° ∠FMC=∠KMO MC=MO

，
∴△FMC≌△KMO（AAS），
∴FM=MK，
∴矩形MKNF為正方形，
∴∠MNO=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了正方形對(duì)角線即角平分線的性質(zhì)，本題中求證△FMC≌△KMO是解題的關(guān)鍵．