Question

將正方形ABCD和正方形BEFG如圖1擺放，連DF．
（1）如圖2，將圖1中的正方形BEFG繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°，連DF、CG相交于M，則=______，∠DMC=______；
（2）如圖3，將圖1中的正方形BEFG繞B點順時針旋轉(zhuǎn)45°，DF的延長線交CG于M，試探究與∠DMC的值，并證明你的結(jié)論；

（3）若將圖1中的正方形BEFG繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°），則=______，∠DMC=______．
請畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論（不用證明）．

Answer 1

解：（1）如圖2，連接BF，
∵四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，
∴∠FBC=∠CBD=45°，
∴∠CBD=∠GBC=90°，
而BF=BG，BD=BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴∠BCG=∠BDF，
而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，
∴，∠DMC=45°；

（2）如圖3，∵將圖1中的正方形BEFG繞B點順時針旋轉(zhuǎn)45°，DF的延長線交CG于M，
∴B、E、D三點在同一條直線上，
而四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，
∴∠CBD=∠GBC=45°，BF=BG，BD=BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴，∠BCG=∠BDF
而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF
=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°
=45°，
即∠DMC=45°；

（3），∠DMC=45°，畫圖如圖所示：
分析：（1）如圖，連接BF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到∠FBC=∠CBD=45°，由此推出∠CBD=∠GBC=90°，BF=BG，BD=BC，由此即可證△BFD、△BGC相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由于將圖1中的正方形BEFG繞B點順時針旋轉(zhuǎn)45°，DF的延長線交CG于M，那么B、E、D三點在同一條直線上，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到∠CBD=∠GBC=45°，BF=BG，BD=BC，由此即可證△BFD、△BGC相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）將圖1中的正方形BEFG繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°），如圖所示，連接BF，和（1）（2）一樣證明△BFD、△BGC相似即可解決問題．
點評：此題比較難，主要考查了旋轉(zhuǎn)及正方形的性質(zhì)，綜合性比較強，通過利用正方形的性質(zhì)構(gòu)造相似三角形的相似條件，然后利用相似三角形性質(zhì)就可以解決問題．