Question

如圖，正五邊形的對角線AC和BE相交于點M．給出下列結論：
①直線DM是它的一條對稱軸；②ME=AB；③四邊形CDEM是菱形；④點M是AC的一個黃金分割點，即．其中正確的是________．

Answer 1

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分析：可由正五邊形的性質和三角形的內角和定理得到∠AME=∠MAE=72°，則有△AEM是等腰三角形，ME=AE，同理△CMB也是等腰三角形，有CM=BC，而ED=CD=CM=EM，故有ED=CD=CM=EM；由于∠MBA=∠ACB=36°，∠MAB=∠BAC，則△ABM∽△ACB，得到AB：AC=AM：AB，即CM²=AC•AM，則點M是AC的黃金分割點．
解答：①、由于∠EAB=108°，AE=AB，則∠AEM=（180°-108°）÷2=36°，同理∠BAC=36°，所以∠AME=∠MAE=72°，則ME=AM=AB，正確；
②、由于AB=AE，AE=EM，故有ME=AB，正確；
③、由①知，△AEM是等腰三角形，有AE=EM，同理△CMB也是等腰三角形，有CM=BC，而ED=AE=CD=BC，且AE=EM，BC=CM，故有ED=CD=CM=EM，則四邊形CDEM是菱形，正確；
④、由①知，△ABM∽△ACB和CM=BC=AB，有AB：AC=AM：AB，即CM²=AC•AM，則點M是AC的黃金分割點，正確．
故本題答案為：①②③④．
點評：此題綜合運用了正五邊形的性質、等腰三角形的判定、菱形的判定、相似三角形的性質和黃金分割點的概念．