Question

9．如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在⊙O上，BD=BA，∠DAC=2∠ABC，⊙O交BC于點(diǎn)E，AD交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若AB=3，AC=$\sqrt{5}$，求BC長．

Answer 1

分析 （1）連接OA，如圖，先證明∠DAC=∠AOC，再由BD=BA得$\widehat{AB}$=$\widehat{DB}$，則利用垂徑定理的推論得BE⊥AD，則∠AOC+∠OAD=90°，所以∠DAC+∠OAD=90°，即∠OAC=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到AC是⊙O切線；
（2）連結(jié)AE，如圖，先證明△CAE∽△CBA得$\frac{AE}{3}$=$\frac{CE}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{BC}$，設(shè)AE=3x，則CE=$\sqrt{5}$x，BC=$\frac{\sqrt{5}}{x}$，所以BE=BC-CE=$\frac{\sqrt{5}}{x}$-$\sqrt{5}$x，再在Rt△ABE中利用勾股定理得到3²+（3x）²=（$\frac{\sqrt{5}}{x}$-$\sqrt{5}$x）²，然后解方程求出x即可得到BC的長．

解答 （1）證明：連接OA，如圖，
∵∠DAC=2∠ABC，∠AOC=2∠ABC，
∴∠DAC=∠AOC，
∵BD=BA，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{DB}$，
∴BE⊥AD，
∴∠AOC+∠OAD=90°，
∴∠DAC+∠OAD=90°，
即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O切線；
（2）解：連結(jié)AE，如圖，
∵BE為直徑，
∴∠BAE=90°，即∠OAB+∠OAE=90°，
而∠OAC=90°，即∠CAE+∠OAE=90°，
∴∠CAE=∠OAB，
而∠OAB=∠OBA，
∴∠CAE=∠CBA，
∵∠ACE=∠BCA，
∴△CAE∽△CBA，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{AE}{3}$=$\frac{CE}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{BC}$，
設(shè)AE=3x，則CE=$\sqrt{5}$x，BC=$\frac{\sqrt{5}}{x}$，
∴BE=BC-CE=$\frac{\sqrt{5}}{x}$-$\sqrt{5}$x，
在Rt△ABE中，∵AB²+AE²=BE²，
∴3²+（3x）²=（$\frac{\sqrt{5}}{x}$-$\sqrt{5}$x）²，
整理得4x⁴+19x²-5=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．