Question

3．已知：在等邊三角形ABC中，D、E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且AE=CD，連結(jié)AD、BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD，垂足為Q．求證：
（1）△ACD≌△BAE；
（2）BP=2PQ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC=BC，∠BAC=∠C=60°，然后根據(jù)“SAS”可證明△ACD≌△BAE；
（2）由△ACD≌△BAE得∠ABE=∠CAD，再利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠BPD=60°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到PB=2PQ．

解答 證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠C=60°，
在△ACD和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠BAE=∠ACD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BAE；
（2）∵△ACD≌△BAE，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPD=∠ABP+∠BAP，
∴∠BPD=∠EAP+∠BAP=∠BAE=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，
在Rt△PBQ中，∵∠PBQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP，
即PB=2PQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．也考查了全等三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．