Question

學(xué)習(xí)《分式》時(shí)，課本上這樣一個(gè)問題：“當(dāng)a的值分別為0.01、0.1、1、10、100時(shí)，求分式

1

a

的值．隨a的值變化，

1

a

的值是如何變化的？
（1）在如下表格中，隨著a的值的增加，

1

a

的值在

 

（填“增加”或“減小”）．

a	0.01	0.1	1	10	100
1 a	100	10	1	0.1	0.01

（2）學(xué)習(xí)《反比例函數(shù)》時(shí)，課本上又出現(xiàn)了如下問題：“點(diǎn)P（a₁，b₁）、Q（a₂，b₂）在反比例函數(shù)y=

1

x

圖象上，且a₁＜a₂．試比較b₁、b₂的大�。�”
小明覺得，比較b₁、b₂的大小，就是比較

1

a1

和

1

a2

的大小，類比第（1）問，可得“b₁＞b₂”，對(duì)于這個(gè)結(jié)論，你怎么看？請(qǐng)你結(jié)合所給函數(shù)圖象，進(jìn)行分析．
（3）還有一種常見的比較大小的方法：“作差法”．例如，若A-B＞0，則A＞B…請(qǐng)用作差法，比較當(dāng)a₁＜a₂時(shí)，

1

a1

和

1

a2

的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：數(shù)形結(jié)合,分類討論

分析：（1）結(jié)合表格可知：隨著a的值的增加，

1

a

的值在減�。�
（2）雖然a₁＜a₂，但a₁、a₂的正負(fù)并不確定，故需分三種情況（①0＜a₁＜a₂，②a₁＜a₂＜0，③a₁＜0＜a₂）討論，然后結(jié)合圖象就可解決問題；
（3）運(yùn)用作差法可得

1

a1

-

1

a2

=

a2-a1

a1a2

，然后只需考慮分子、分母的符號(hào)就可解決問題．

解答：解：（1）結(jié)合表格可知：隨著a的值的增加，

1

a

的值在減小，
故答案為：減�。�                                                 

（2）小明的結(jié)論不全面，如圖1、圖2、圖3．

①如圖1，當(dāng)0＜a₁＜a₂時(shí)，b₁＞b₂；
②如圖2，當(dāng)a₁＜a₂＜0時(shí)，b₁＞b₂；
③如圖3，當(dāng)a₁＜0＜a₂時(shí)，b₁＜b₂．                                  

（3）

1

a1

-

1

a2

=

a2-a1

a1a2

．
當(dāng)a₁＜a₂時(shí)，a₂-a₁＞0．
①當(dāng)a₁＜a₂＜0時(shí)，

a2-a1

a1a2

＞0，所以

1

a1

＞

1

a2

；
②當(dāng)0＜a₁＜a₂時(shí)，

a2-a1

a1a2

＞0，所以

1

a1

＞

1

a2

；
③當(dāng)a₁＜0＜a₂時(shí)，

a2-a1

a1a2

＜0，所以

1

a1

＜

1

a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，運(yùn)用分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用作差法是解決第（3）小題的關(guān)鍵．