Question

5．如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠1=∠2=90°，AB=AC，AD=AE．△ADE可以繞點A旋轉(zhuǎn)．
（1）BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)AC=2，∠BCE=15°時，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS即可求得△CAE≌△BAD，求得∠ACF=∠ABD．因為∠ANC=∠BNF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可求得∠BFN=∠NAC=90°，從而證得BD⊥CE；
（2）根據(jù)已知條件求得∠ACN=∠ACB-∠BCE=30°=∠FBN．在Rt△ACN中，通過解直角三角形從而求得AN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．進(jìn)而求得BN=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$． 在Rt△ACN中通過解直角三角形求得NF=$\frac{1}{2}$．即可求得CF=CN+NF=1+$\sqrt{3}$．

解答 （1）證明：如圖
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，BD=CE
∵∠ANC=∠BNF，
∴∠BFN=∠NAC=90°，
∴BD⊥CE；

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∵∠BCE=15°，
∴∠ACN=∠ACB-∠BCE=30°=∠FBN．
在Rt△ACN中
∵∠NAC=90°，AC=2，∠ACN=30°，
∴AN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵AB=AC=2，
∴BN=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
在Rt△ACN中
∵∠BFN=90°，∠FBN=30°，
∴NF=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=CN+NF=1+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，角的平分線的判定等知識點，利用全等三角形得出線段相等和角相等是解題的關(guān)鍵．