Question

10．如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使AB與CD重合，折痕為EF．如圖2，展開后再折疊一次，使點C與點E重合，折痕為GH，點B的對應點為點M，EM交AB于N．若AD=2，則MN=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 設正方形的邊長為2a，DH=x，表示出CH，再根據翻折變換的性質表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根據相似三角形的判定性質，可得NE的長，根據線段的和差，可得答案．

解答 解：設DH=x，CH=2-x，
由翻折的性質，DE=1，
EH=CH=2-x，
在Rt△DEH中，DE²+DH²=EH²，
即1²+x²=（2-x）²，
解得x=$\frac{3}{4}$，EH=2-x=$\frac{5}{4}$．
∵∠MEH=∠C=90°，
∴∠AEN+∠DEH=90°，
∵∠ANE+∠AEN=90°，
∴∠ANE=∠DEH，
又∠A=∠D，
∴△ANE∽△DEH，
$\frac{AE}{DH}$=$\frac{EN}{EH}$，即$\frac{EN}{\frac{5}{4}}$=$\frac{1}{\frac{3}{4}}$，
解得EN=$\frac{5}{3}$，
MN=ME-NE=2-$\frac{5}{3}$=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了翻折變換的性質，勾股定理的應用，銳角三角函數，設出DH的長，然后利用勾股定理列出方程是解題的關鍵，也是本題的難點．