Question

17．如圖，MN是⊙O的直徑，AB是⊙O的一條弦，且AB⊥MN于點(diǎn)C．
（1）求證：∠OBN=∠A；
（2）若AB=4$\sqrt{3}$，MC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OBN=∠N，由于∠N=∠A，等量代換得到∠OBN=∠A；
（2）由MN是⊙O的直徑，且AB⊥MN于點(diǎn)C，于是得到BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵ON=OB，
∴∠OBN=∠N，
∵∠N=∠A，
∴∠OBN=∠A；
（2）解：∵M(jìn)N是⊙O的直徑，且AB⊥MN于點(diǎn)C，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=OM=r，OC=OM-MC=r-2，
∵OB²=CB²+OC²，
∴r²=（2$\sqrt{3}$）²+（r-2）²，
∴r=4，
∴⊙O的半徑=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．