Question

12．在⊙O中，AB、CD為兩條弦，AB=CD，AB、CD交于點(diǎn)E，連結(jié)BD．
（1）如圖1，求證：∠B=∠D：
（2）如圖2，連結(jié)D并延長交弦AB于點(diǎn)F，連結(jié)AO交弦CD于點(diǎn)G，已知AB⊥CD．
①求證：CG=BF；
②當(dāng)CE=$\frac{2}{5}$DG時(shí)，若BF=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）如圖1，利用弦、弧的關(guān)系得到$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，則$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，然后根據(jù)圓周角定理可得∠B=∠D；
（2）如圖2，先由（1）得∠B=∠EDB=45°，再利用圓周角定理得到∠AOD=2∠B=90°，然后證明△AOF≌△DOG得到GD=AF，于是有CG=BF；
②設(shè)CE=2x，DG=5x，則AF=DG=5x，接著表示出AE=CE=2x，EG=3-2x，DE=3+3x，EF=3x，然后通過證明△AEG∽△DEF，則利用相似比可求出x=1，從而得到EG=1，AE=2，DG=5，再利用勾股定理計(jì)算出AG=$\sqrt{5}$，最后證明△AEG∽△DOG，則利用相似比可計(jì)算出OD．

解答 （1）證明：如圖1，
∵AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AB}$-$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$-$\widehat{AC}$，
即$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，
∴∠B=∠D；
（2）①證明：如圖2，
∵AB⊥CD，
∴∠BED=90°，
由（1）得∠B=∠EDB，
∴∠B=45°，
∴∠AOD=2∠B=90°，
∴∠AOF=∠BOG=90°，
∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△DOG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠AOF=∠DOG}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△DOG，
∴GD=AF，
∵AB=CD，
∴CG=BF；
②設(shè)CE=2x，DG=5x，則AF=DG=5x，
∵∠B=∠EDB，
∴EB=ED，
∵AB=CD，
∴AE=CE=2x，
由①得CG=BF=3，
∴EG=3-2x，
DE=DG+EG=5x+3-2x=3+3x，
EF=AF-AE=5x-2x=3x，
∵∠1=∠2=∠AGE，∠AEG=∠DEF=90°，
∴△AEG∽△DEF，
∴AE：DE=EG：EF，即2x：（3+3x）=（3-2x）：3x，解得x₁=1，x₂=-$\frac{3}{4}$（舍去），
∴EG=1，AE=2，DG=5，
在Rt△AEG中，AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠2=∠AGE，∠AEG=∠DCG，
∴△AEG∽△DOG，
∴AE：OD=AG：DG，即2：OD=$\sqrt{5}$：5，解得OD=2$\sqrt{5}$，
∴⊙O的半徑是2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和圓心角、弧、弦之間的關(guān)系；會運(yùn)用三角形全等的知識解決線段相等的問題，運(yùn)用勾股定理和相似比計(jì)算線段的長．解決（2）小題的第2個(gè)問題，通過代數(shù)法表示線段的長，再利用相似比建立方程可求出相應(yīng)線段的長．