Question

如圖，現(xiàn)有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長分別為1和2．將它們分別放置于平面直角坐標(biāo)系中的△AOB，△COD處，直角邊OB，OD在x軸上．一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板Ⅰ沿直尺邊緣平行移動．當(dāng)紙板Ⅰ移動至△PEF處時，設(shè)PE，PF與OC分別交于點M，N，與x軸分別交于點G，H．

(1)求直線AC所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)點P是線段AC(端點除外)上的動點時，試探究：

①點M到x軸的距離h與線段BH的長是否總相等？請說明理由；

②兩塊紙板重疊部分(圖中的陰影部分)的面積S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及S取最大值時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由直角三角形紙板的兩直角邊的長為1和2，知兩點的坐標(biāo)分別為． 　　設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．2分 　　有解得 　　所以，直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．4分 　　(2)①點到軸距離與線段的長總相等． 　　因為點的坐標(biāo)為， 　　所以，直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為． 　　又因為點在直線上， 　　所以可設(shè)點的坐標(biāo)為． 　　過點作軸的垂線，設(shè)垂足為點，則有． 　　因為點在直線上，所以有．6分 　　因為紙板為平行移動，故有，即． 　　又，所以． 　　法一：故， 　　從而有． 　　得，． 　　所以． 　　又有．8分 　　所以，得，而， 　　從而總有．10分 　　法二：故，可得． 　　故． 　　所以． 　　故點坐標(biāo)為． 　　設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為， 　　則有解得 　　所以，直線所對的函數(shù)關(guān)系式為．8分 　　將點的坐標(biāo)代入，可得．解得． 　　而，從而總有．10分 　�、谟散僦�，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為． 　　 　　．12分 　　當(dāng)時，有最大值，最大值為． 　　取最大值時點的坐標(biāo)為．14分