Question

（2013•杭州一模）如圖，?ABCD中，AC⊥AB．AB=6cm，BC=10cm，E是CD上的點(diǎn)，DE=2CE．點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿DA→AB→BC運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)停止．則當(dāng)△EDP為等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

10

3

或4或（27.2-

4 21

5

）

s．

Answer 1

分析：先求出DE、CE的長(zhǎng)，再分①點(diǎn)P在AD上時(shí)，PD=DE，列式求解即可；PD=PE時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于F，根據(jù)AC⊥AB可得AC⊥CD，然后求出△ACD和△PFD相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出PD，從而得解；②點(diǎn)P在BC上時(shí)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)三角形的面積求出AF的長(zhǎng)，再利用勾股定理列式求出BF的長(zhǎng)，然后求出△ABF和△ECG相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出EG、CG，利用勾股定理列式求出PG，然后求出CP，再求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程，然后求出時(shí)間即可．

解答：解：在?ABCD中，∵AB=6cm，
∴CD=AB=6cm，
∵DE=2CE，
∴DE=4cm，CE=2cm，
①點(diǎn)P在AD上時(shí)，若PD=DE，則t=4，
若PD=PE，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于F，
∵AC⊥AB，
∴AC⊥CD，
∴△ACD∽△PFD，
∴

AD

PD

=

CD

FD

，
即

10

PD

=

6

2

，
解得PD=

10

3

，
②點(diǎn)P在BC上時(shí)PE=DE=4，
∵AC⊥AB，AB=6cm，BC=10cm，
∴AC=

BC2-AB2

=

102-62

=8，
過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC的延長(zhǎng)線于G，
S_△ABC=

1

2

×6×8=

1

2

×10AF，
解得AF=4.8，
根據(jù)勾股定理，BF=

AB2-AF2

=

62-4.82

=3.6，
∵平行四邊形ABCD的邊AB∥CD，
∴∠B=∠ECG，
又∵∠AFB=∠EGC=90°，
∴△ABF∽△ECG，
∴

AB

EC

=

AF

EG

=

BF

CG

，
即

6

2

=

4.8

EG

=

3.6

CG

，
解得EG=1.6，CG=1.2，
根據(jù)勾股定理，PG=

PE2-EG2

=

42-1.62

=

4 21

5

，
∴PC=PG-CG=

4 21

5

-1.2，
點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為10+6+10-（

4 21

5

-1.2）=27.2-

4 21

5

，
∵點(diǎn)P的速度為1cm/s，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

10

3

秒或4秒或27.2-

4 21

5

秒．
故答案為：

10

3

或4或27.2-

4 21

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合題，難點(diǎn)在于要分情況討論．