Question

如圖，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、B，AB = 5，cos∠OAB =，直線分別與直線AB、x軸、y軸交于點C、D、E．

⑴求證：∠OED =∠OAB；

⑵直線DE上是否存在點P，使△PBE與△AOB相似，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△OAB中，∵AB=5，=，

∴OA=4，OB=3，∴=．

令，則，∴OE=1．

令，則，∴，∴OD=．

∴=．

∴= 

∵∠EOD=∠AOB=90°，

∴△EOD∽△AOB，

∴=．

（2）分兩種情況：

當∠EBP與∠AOB是對應(yīng)角時，如圖1，則∠EBP=∠AOB=90°．

由（1）知，=，OA=BE=4，

∴△BEP≌△AOB，

∴BP=OB=3，將代入中，得，

∴點P（3，3）．當∠EBP與∠ABO是對應(yīng)角時，如圖2，則∠EBP=∠ABO．

∵=，∴△ EPB∽△AOB．

∵點P和點D都在直線CD上，

∴點C即為點P．

設(shè)直線AB解析式為．

將點A（4，0），點B（0，3）代入中，得

，∴，∴，

∴，∴，∴點P（，）．