Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABCD斜靠在y軸上，點A的坐標(biāo)為（1，0），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象經(jīng)過點C，將正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，使得點B恰好落在x軸的正半軸上，此時邊BC交反比例圖象于點E，則點E的縱坐標(biāo)是1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)勾股定理求出OD的長，再過點C作CF⊥y軸于點F，根據(jù)ASA定理得出△CDF≌△DAO，故可得出C點坐標(biāo)，求出k的值，再求出OH的長，進而可得出E點坐標(biāo)．

解答 解：∵Rt△AOD中，OA=1，AD=2，
∴OD=$\sqrt{{AD}^{2}-{OA}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
過點C作CF⊥y軸于點F，
∵∠CDF+∠ADO=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠ADO，
同理，∠CDF=∠DAO，
在△CDF與△DAO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DCF=∠ADO\\ CD=AD\\∠CDF=∠DAO\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△DAO（ASA），
∴CF=OD=$\sqrt{3}$，DF=OA=1，
∴C（$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象經(jīng)過點C，
∴k=$\sqrt{3}$×（1+$\sqrt{3}$）=3+$\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{3+\sqrt{3}}{x}$．
∵OH=OA+AH=1+2=3，
∴點E的橫坐標(biāo)為3，
∴y=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故答案為：1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．