Question

8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點(diǎn)D，E．
（1）求證：AE=2CE；
（2）連接CD，請(qǐng)判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BE，由垂直平分線的性質(zhì)可求得∠EBC=∠ABE=∠A=30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性質(zhì)可證得BE=2CE，則可證得結(jié)論；
（2）由垂直平分線的性質(zhì)可求得CD=BD，且∠ABC=60°，可證明△BCD為等邊三角形．

解答 （1）證明：
連接BE，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
在Rt△ABC中，BE=2CE，
∴AE=2CE；
（2）解：△BCD是等邊三角形，
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D為AB中點(diǎn)，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD，
∵∠ABC=60°，
∴△BCD是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．