Question

5．已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點O及點A（-4，0）和點C（2，3）．

（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；
（2）如圖1，設拋物線的對稱軸與x軸交于點E，將直線y=2x沿y軸向下平移n個單位后得到直線l，若直線l經(jīng)過C點，與y軸交于點D，且與拋物線的對稱軸交于點F．若P是拋物線上一點，且PC=PF，求點P的坐標；
（3）如圖2，將（1）中所求拋物線向上平移4個單位得到新拋物線，求新拋物線上到直線CD距離最短的點的坐標．（直接寫出結果，不要解答過程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點極坐標；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線l的解析式，根據(jù)中點坐標公式，可得D是CF的中點，根據(jù)勾股定理，可得EF，EC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得ED是線段CF直平分線，根據(jù)解方程組，可得P點坐標；
（3）根據(jù)平移，可得新拋物線，根據(jù)平行于直線與拋物線相切的點到直線的距離最短，可得切線，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答 （1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點O及點A（-4，0）和點C（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+x；
∵y=$\frac{1}{4}$x²+x=$\frac{1}{4}$（x+2）²-1，
∴拋物線的頂點坐標為（-2，-1）；
（2）如圖1：

直線l的解析式為y=2x-n，
∵直線l過點C（2，3），
∴n=1，
∴直線l的解析式為y=2x-1，當x=0時，y=-1，即D（0，-1）．
∵拋物線的對稱軸為x=-2，
∴E（-2，0）．
當x=-2時，y=2x-1=-5，即F（-2，-5），
∴CD=DF=2$\sqrt{5}$，
∴點D是線段CF的中點，
∵C（2，3），
∴EF=EC=5，
∴ED垂直平分CF．
∴PC=PF，
∴點P在CF的垂直平分線上，
∴點P是拋物線與直線ED的交點．
ED的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1．
聯(lián)立拋物線與ED，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3+\sqrt{5}}\\{{y}_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3-\sqrt{5}}\\{{y}_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
點P的坐標（-3+$\sqrt{5}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）或（-3-$\sqrt{5}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）；
（3）如圖2：

移后的拋物線為y═$\frac{1}{4}$x²+x+4
平行于CD與物線相切的直線為y=2x+b，
聯(lián)立，得$\frac{1}{4}$x²+x+4=2x+b
方程有相等二實根，得
△=b²-4ac=（-1）²-4×$\frac{1}{4}$（4-b）=0
解得b=3．
$\frac{1}{4}$x²-x+1=0，
解得x=2，y=2x+3=7，
新拋物線上到直線CD距離最短的點的坐標是（2，7）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出P是線段CD的垂直平分線與拋物線的交點是解題關鍵；利用平行于直線與拋物線相切的點到直線的距離最短得出拋物線的切線是解題關鍵．