Question

18．如圖，直線l₁：y=kx+b過(guò)點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)D（4，0），直線l₂：y=$\frac{1}{2}$x+1與x軸交于點(diǎn)C，兩直線l₁，l₂相交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2．
（1）求直線l₁的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x取什么范圍時(shí)，kx+b＜$\frac{1}{2}$x+1；
（3）求△ABC的面積，點(diǎn)P是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，若△ABP的面積是△ABC面積的一半，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）在第二象限是否存在點(diǎn)P，使得△PAC是等腰直角三角形？若存在，直接求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法確定出直線l₁解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）由圖象和（1）的結(jié)論直接寫(xiě)出結(jié)論；
（3）直接用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（4）分三種情況，用等腰直角三角形的性質(zhì)建立方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線l₁：y=kx+b過(guò)點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)D（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線l₁的解析式為y=-x+4；
∵兩直線l₁，l₂相交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，
∴y=2，
∴B（2，2）；
（2）由（1）知，B（2，2），
由圖象知，x＜2時(shí)，kx+b＜$\frac{1}{2}$x+1；
（3）如圖1，

∵直線l₂：y=$\frac{1}{2}$x+1與x軸交于點(diǎn)C，
∴C（-2，0），E（0，1），
∵A（0，4），
∴AE=3
∴S_△ABC=S_△AEC+S_△AEB=$\frac{1}{2}$AE×|x_C|+$\frac{1}{2}$AE×|x_B|=$\frac{1}{2}$×3×2+$\frac{1}{2}$×3×2=6，
∵S△AEB=$\frac{1}{2}$AE×|x_B|=3，
∵△ABP的面積是△ABC面積的一半，
∴S_△ABP=3，
∴點(diǎn)E和P重合，
∴P（0，1），
∵S_△ABP=3，
∴點(diǎn)B是EP的中點(diǎn)，
∵E（0，1），B（2，2），
∴P（4，3），
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（4，3）；
（4）如圖2，由（3）知，C（-2，0），∵A（0，6），
∴AC=2$\sqrt{10}$，直線AC的解析式為y=3x+6，
∵△PAC是等腰直角三角形，
∴①當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，AP1⊥AC，
∴直線AP1的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+6，
設(shè)點(diǎn)P₁（m，-$\frac{1}{3}$m+6），
∵A（0，6），
∴AP₁²=m²+（-$\frac{1}{3}$m+6-6）²=40，
∴m=-6或m=6（舍），
∴P（-6，8），
②當(dāng)點(diǎn)C是直角頂點(diǎn)時(shí)，同①的方法得出點(diǎn)P₂（-8，2），
③當(dāng)點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖P₃，點(diǎn)P₃是線段P₂A的中點(diǎn)，
∴P₃（-4，4），
∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（-6，8），（-8，2），（-4，4），

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，中點(diǎn)坐標(biāo)的求法，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是計(jì)算三角形的面積的方法，難點(diǎn)是分類討論思想，是一道中等難度的中考�？碱}．