Question

3．在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點E為射線DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，使點D落在點F處，若△CEF為直角三角形時，DE的長為$\frac{8}{3}$或8或$\frac{32-8\sqrt{7}}{3}$．

Answer 1

分析 當△CEF為直角三角形時，有兩種情況：①當點F落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．先利用勾股定理計算出AC=10，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AFE=∠D=90°，設(shè)DE=x，則EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中運用勾股定理可計算出x即可．
②當點F落在AB邊上時，如答圖2所示．此時四邊形ADEF為正方形，得出DE=AD=8．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
當△CEF為直角三角形時，有兩種情況：
①當點F落在矩形內(nèi)部時，F(xiàn)落在AC上，如圖1所示．
由折疊的性質(zhì)得：EF=DE，AF=AD=8，
設(shè)DE=x，則EF=x，CE=6-x，
∴CE=6-x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
∵EF²+CF²=CE²，
∴x²+2²=（6-x）²，
解得x=$\frac{8}{3}$，
∴DE=$\frac{8}{3}$；
②當點F落在AB邊上時，如圖2所示．
此時ADEF為正方形，
∴DE=AD=8．
③當點F落在AB邊上時，易知BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，設(shè)DE=EF=x，
在Rt△EFC中，x²=（6-x）²+（8-2$\sqrt{7}$）²，
∴x=$\frac{32-8\sqrt{7}}{3}$，
∴DE=$\frac{32-8\sqrt{7}}{3}$，
綜上所述，BE的長為$\frac{8}{3}$或8或$\frac{32-8\sqrt{7}}{3}$．
故答案為：$\frac{8}{3}$或8或$\frac{32-8\sqrt{7}}{3}$．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．