Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點(diǎn)D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取E點(diǎn)，使∠ADE=45°．
（1）試判斷△ABD與△DCE是否相似并說明理由；
（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；并指出當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合）時(shí)，AE是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由；
（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長．

Answer 1

解：（1）△ABD與△DCE相似
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=∠ADE=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE
∴=
∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴BC=，DC=-x，EC=1-y
∴=，y=x²-x+1=（x-）²+，
當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，最小值為；

（3）當(dāng)AD=DE時(shí)，△ABD≌△CDE，
∴BD=CE，
∴x=1-y，即x-x²=x，
∵x≠0，
∴x=-1
∴AE=1-x=2-，
當(dāng)AE=DE時(shí)，DE⊥AC，此時(shí)D是BC中點(diǎn)，E也是AC的中點(diǎn)，
所以，AE=；
當(dāng)AD=AE時(shí)，∠DAE=90°，D與B重合，不合題意；
綜上，當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，AE的長為2-或．
分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，易證△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，對應(yīng)邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)可求出其最小值．
（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，因?yàn)槿�角形的腰和底不明確，所以應(yīng)分AD=DE，AE=DE，AD=AE三種情況討論．
點(diǎn)評：此題綜合考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，但難度適中，是一道好題．