Question

如圖，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足∠DBE=

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∠ABC（0°＜∠CBE＜∠45°），求證：DE²=AD²+EC²．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：把△CBE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，根據(jù)已知條件證明DE=DE′，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知圖形旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，∠E′AB=∠BCE=45°，所以∠DAE′=90°，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．

解答：證明：如圖所示：把△CBE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，連接DE′，
∵∠DBE=

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∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=

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∠ABC，
∵△ABE′由△CBE旋轉(zhuǎn)而成，
∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，
∴∠DBE′=∠DBE，
在△DBE與△DBE′中，

BE=BE′ ∠DBE=∠DBE′ BD=BD

，
∴△DBE≌△DBE′，
∴DE′=DE，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCE=45°，
∴圖形旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，CE與AE′重合，
∴AE′=EC，
∴∠E′AB=∠BCE=45°，
∴∠DAE′=90°，
在Rt△ADE′中，DE′²=AE′²+AD²，
∵AE′=EC，
∴DE′²=EC²+AD²，
∵DE=DE′，
∴DE′²=AD²+EC²，
∴DE²=AD²+EC²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形的旋轉(zhuǎn)及勾股定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，熟知旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．題目的綜合性較強(qiáng)，難度不�。�