Question

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)E在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D，且點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，連接BM、DM，

           

（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出你得到的結(jié)論；
（2）如圖2，若點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；
（3）若點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，請(qǐng)你根據(jù)條件畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并直接寫(xiě)出線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系。

Answer 1

解：（1）結(jié)論：BM=DM，∠BMD=2∠BCD；
（2）在（1）中得到的結(jié)論仍然成立，即BM=DM，∠BMD=2∠BCD。
   證法一：∵ 點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，
   　　　　∴ BM=EC=MC，
                 又點(diǎn)M是Rt△DEC的斜邊EC的中點(diǎn)，
 　　　　 ∴ DM=EC=MC，
                ∴ BM=DM，
　　　　  ∵ BM=MC， DM=MC，
  　　　　∴ ∠CBM =∠BCM， ∠DCM=∠CDM，
                ∴ ∠BMD=∠EMB∠EMD=2∠BCM2∠DCM 　　　　　　
     　                       =2(∠BCM∠DCM)= 2∠BCD，　　　
　　         即 ∠BMD=2∠BCD。
   證法二：∵ 點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，　　
      　　　∴ BM=EC=ME，
　　　　  又 點(diǎn)M是Rt△DEC的斜邊EC的中點(diǎn)，
                ∴ DM=EC=MC，　　
     　　　∴ BM=DM，
                ∵ BM=ME， DM=MC，　
      　　   ∴ ∠BEC=∠EBM， ∠MCD=∠MDC，
   　　　  ∴ ∠BEM+∠MCD=∠BAC =90°-∠BCD，
               ∴ ∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME）
                               =180°-2（∠BEM+∠MCD）
                               =180°-2（90°-∠BCD）
                               =2∠BCD，
　　　　 即∠BMD=2∠BCD。
（3）所畫(huà)圖形如圖所示：
   
    圖1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；　　　　　　　
    圖2中∠BCD不存在，有BM=DM；　　　
    圖3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD。