Question

如圖所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共頂點A，∠EAF=90°，連接BE、DF，將Rt△AEF繞點A旋轉，在旋轉過程中，BE、DF具有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？結合圖（1）給予證明；
（2）將（1）中的正方形ABCD變?yōu)榫匦蜛BCD，等腰Rt△AEF變?yōu)镽t△AEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他條件不變，（1）中的結論是否發(fā)生變化？結合圖（2）說明理由；
（3）將（2）中的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD，將Rt△AEF變?yōu)椤鰽EF，且∠BAD=∠EAF=α，其他條件不變，（2）中的結論是否發(fā)生變化？結合圖（3），如果不變，直接寫出結論；如果變化，直接用k表示出線段BE、DF的數(shù)量關系，用a表示出直線BE、DF形成的銳角β。

Answer 1

解：（1）延長DF分別交AB、BE于點P、G， 在正方形ABCD和等腰直角△AEF中 AD=AB，AF=AE，∠BAD=∠EAF =90°， ∴∠FAD=∠EAB ∴△FAD≌△EAB， ∴∠FDA=∠EBA，DF=BE  ∵∠DPA=∠BPG， ∠ADP+∠DPA=90° ∴∠EBP+∠BPG=90° ∴∠DGB=90° ∴DF⊥BE；
（2）數(shù)量關系改變，位置關系不變， DF=kBE，DF⊥BE， 延長DF交EB于點H， ∵AD=kAB，AF=kAE ∴=k，=k ∴ ∵∠BAD=∠EAF=α ∴∠FAD=∠EAB ∴△FAD∽△EAB ∴ ∴DF=kBE ∵△FAD∽△EAB， ∴∠AFD=∠AEB， ∵∠AFD+∠AFH=180°， ∴∠AEH+∠AFH=180°， ∵∠EAF=90°， ∴∠EHF=180°-90°=90°， ∴DF⊥BE；
（3）不改變，DF=kBE，β=180°-a， 延長DF交EB的延長線于點H ∵AD=kAB，AF=kAE ∴=k，=k ∴ ∵∠BAD=∠EAF=α ∴∠FAD=∠EAB ∴△FAD∽△EAB ∴=k ∴DF=kBE 由△FAD∽△EAB 得∠AFD=∠AEB ∵∠AFD+∠AFH=180° ∴∠AEB+∠AFH=180° ∵四邊形AEHF的內角和為360°， ∴∠EAF+∠EHF=180° ∵∠EAF=α，∠EHF=β ∴a+β=180° ∴β=180°-a。