Question

15．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，點E是邊BC上的動點（不與點B，C重合），以AE為邊作∠EAF，使得∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，射線AF交邊CD于點F．
（1）如圖1，當(dāng)點E是邊CB的中點時，判斷并證明線段AE，AF之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點E不是邊BC的中點時，求證：BE=CF．

Answer 1

分析 （1）AE=AF，易證△ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行線與三角形外角的性質(zhì)，可求得∠AEB=∠AFC，證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得△AEF是等邊三角形即可；
（2）由（1）可知∠B=60°，△ABCA是等邊三角形，∠EAF=60°，再結(jié)合已知條件可證明△ABE≌△ACF（ASA），由全等三角形的性質(zhì)即可得到BE=CF．

解答 解：（1）AE=AF，理由如下：
連接AC．如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°．
∴∠B=∠ACF=60°．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD．
∴∠AEB=∠AFC．
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACF}\\{∠AEB=∠AFC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
∴AE=AF．
（2）證明：由（1）得：∠B=60°，△ABCA是等邊三角形，∠EAF=60°，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF，
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACD=∠BCD-∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠B=60°，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．