Question

5．在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD．
（1）如圖1，請連接AC，BD，求證：AC垂直平分BD；
（2）如圖2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的動點，且∠EAF=60°，AE，AF分別與BD交于G，H，求證：△AGH∽△AFE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若 EF⊥CD，直接寫出$\frac{GH}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接BD、AC．只要證明點A、點B在線段BD的垂直平分線上即可；
（2）如圖2中，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120得到△ADM．連接AC交BD于O．首先證明△FAE≌△FAM，再證明∠AGO=∠ADF，即可解決問題；
（3）如圖3中，連接AC交BD于O，作HM⊥AD于M．由（2）可知∠AFD=∠AFE=∠AGO=45°，由∠ADF=90°，可得AD=DF，設HM=AM=a，則DH=2a，DM=$\sqrt{3}$a，想辦法求出GH、BD（用a表示），即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖1中，連接BD、AC．

∵AB=AD，
∴點A在線段BD的垂直平分線上，
∵CB=CD，
∴點C在線段BD的垂直平分線上，
∴AC是線段BD的垂直平分線，
即AC垂直平分線段BD．

（2）如圖2中，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120得到△ADM．連接AC交BD于O．

∵B、D關于AC對稱，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠BCD=60°，
∴∠BAD=120°，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAM=60°，
∴∠FAE=∠FAM，
∵∠ADM=∠ABE=90°=∠ADF，
∴F、D、M共線，
∵FA=FA，AE=AM，
∴△FAE≌△FAM，
∴∠AFE=∠AFM，
∵∠CAD=∠CAB=60°=∠EAF，
∴∠GAO=∠DAF，
∵∠AGO+∠GAO=90°，∠AFD+∠FAD=90°，
∴∠AGO=∠ADF，
∴∠AGH=∠AFE，∵∠GAH=∠FAE，
∴△AGH∽△AFE．

（3）解：如圖3中，連接AC交BD于O，作HM⊥AD于M．

∵EF⊥CD，
∴∠EFD=90°，
由（2）可知∠AFD=∠AFE=∠AGO=45°，
∵∠ADF=90°，
∴AD=DF，設HM=AM=a，則DH=2a，DM=$\sqrt{3}$a，
在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=（1+$\sqrt{3}$）a，
∴CD=BD=$\sqrt{3}$AD=（3+$\sqrt{3}$）a，
在Rt△AHD中，∵∠ADH=30°，AD=（1+$\sqrt{3}$）a，
∴AO=OG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a，OD=$\sqrt{3}$OA=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$a，
∴OH=OD-DH=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$a-2a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$a，
∴GH=OG+OH=$\sqrt{3}$a，
∴$\frac{GH}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}a}{（3+\sqrt{3}）a}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點評 本題考查相似三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．