Question

19．x₁、x₂是方程x²+ax+b=0的兩根，若△=8，并且$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，求此方程的兩個(gè)根．

Answer 1

分析 首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，結(jié)合△=8和$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{3}{4}$列出$\frac{16{a}^{2}}{49}$=$\frac{4b}{3}$①和a²-4b=8②兩個(gè)方程，解方程求出a和b的值，進(jìn)而求出方程的兩個(gè)根．

解答 解：∵x₁、x₂是方程x²+ax+b=0的兩根，
∴x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，
∵$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{3}{4}$，
∴4x₁=3x₂，
∴$\frac{3}{4}$x₂+x₂=-a，則x₂=$\frac{-4a}{7}$，即x₂²=$\frac{16{a}^{2}}{49}$，
∴$\frac{3}{4}$x₂²=b，
∴$\frac{16{a}^{2}}{49}$=$\frac{4b}{3}$①，
∵△=8，
∴a²-4b=8②，
由①②解得：a=±14$\sqrt{2}$，b=96，
當(dāng)a=14$\sqrt{2}$時(shí)，
x=$\frac{-14\sqrt{2}±2\sqrt{2}}{2}$，即x=-8$\sqrt{2}$或-6$\sqrt{2}$，
當(dāng)a=-14$\sqrt{2}$時(shí)，
x=$\frac{14\sqrt{2}±2\sqrt{2}}{2}$，即x=8$\sqrt{2}$或6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是列出a和b的兩個(gè)關(guān)系式，此題計(jì)算稍微有些麻煩，但是難度不大．