Question

3．如圖，有一邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD和等腰Rt△PQR，QR=8cm，點(diǎn)B、C、Q、R在同一條直線上，當(dāng)C、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，△PQR以1cm/秒的速度向左開始勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)與正方形重合部分的面積為S cm²．
（1）求S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍；
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）畫出圖形，按照不同的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，分類探討得出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步求得最大值；
（2）比較（1）中的不同取值范圍內(nèi)的最大值，得出答案即可．

解答 解：（1）①如圖，

當(dāng)0≤t≤4時(shí)，S=$\frac{1}{2}$CQ²=$\frac{1}{2}$t²，
當(dāng)t=4時(shí)，S最大為8；
②如圖，

當(dāng)4＜t≤5時(shí)，S=S_△PQR-S_△ECR，
CR=8-CQ=8-t=CE，
S=$\frac{1}{2}$×8×4-$\frac{1}{2}$（8-t）²═-$\frac{1}{2}$（t-8）²-16=-$\frac{1}{2}$（t-8）²+16，
當(dāng)t=5時(shí)，S最大為$\frac{23}{2}$；
③如圖，

當(dāng)5≤t≤8時(shí)，S=S_△PQR-S_△BMQ-S_△NCR，
BQ=t-5，CR=8-t，
S=$\frac{1}{2}$×8×4-$\frac{1}{2}$（t-5）²-$\frac{1}{2}$（8-t）²=-$\frac{1}{2}$t²+8t-$\frac{57}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{13}{2}$）²+$\frac{55}{4}$，
當(dāng)t=$\frac{13}{2}$時(shí)，S最大為$\frac{55}{4}$；
④如圖，

當(dāng)8≤t≤9時(shí)，S=S_△PQR-S_△BEQ，
BQ=t-5，CR=
S=$\frac{1}{2}$×8×4-$\frac{1}{2}$（t-5）²=-$\frac{1}{2}$t²+5t+$\frac{7}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-5）²+16，
當(dāng)t=8時(shí)，S最大為$\frac{23}{2}$；
⑤如圖，

當(dāng)9≤t≤13時(shí)，S=S_△BER，
BR=8-（t-5）=13-t，
S=$\frac{1}{2}$（13-t）²，
當(dāng)t=9時(shí)，S最大為8；
⑥當(dāng)t＞13，S=0；
（2）由（1）可知：S的最大值是$\frac{55}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)，根據(jù)正方形ABCD的邊長(zhǎng)和等腰Rt△PQR的底邊長(zhǎng)結(jié)合運(yùn)動(dòng)速度，按照不同的取值范圍分類探討是解決問題的難點(diǎn)．