Question

9．如圖，二次函數(shù)y=ax²-2ax+3（a≠0）的圖象與x、y軸交于A、B、C三點(diǎn)，
其中AB=4，連接BC．
（1）求二次函數(shù)的對稱軸和函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；
（3）當(dāng)0≤x≤t時(shí)，則3≤y≤4，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸x=1，AB=4，可得A（-1，0），B（3，0），利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）由直線BC的解析式為y=-x+3，設(shè)M（m，-m+3），則N（m，-m²+2m+3），推出NM=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
（3）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，觀察好像圖象，即可解決問題．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)解析式為y=ax²-2ax+3，
∴對稱軸x=1，
∵AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0），
把（-1，0）代入二次函數(shù)的解析式得到a=-1，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）∵直線BC的解析式為y=-x+3，設(shè)M（m，-m+3），
則N（m，-m²+2m+3），
∴NM=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵-1＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$時(shí)，MN有最大值，最大值為$\frac{9}{4}$．

（3）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，4），
∵y=3時(shí)3=-x²+2x+3，解得x=0或2，
∴0≤x≤t時(shí)，則3≤y≤4，
∴結(jié)合圖象可知，1≤t≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考常考題型．