Question

如圖，細(xì)心觀察，認(rèn)真分析各式，然后解答問(wèn)題：
（

1

）²+1=（

2

）²=2，S₁=

1

2

；
（

2

）²+1=（

3

）²=3，S₂=

2

2

；
（

3

）²+1=（

4

）²=4，S₃=

3

2

；…，…；
（1）請(qǐng)用含n（n為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律：

 

；
（2）利用上面的結(jié)論及規(guī)律，請(qǐng)?jiān)趫D上繼續(xù)作出等于

8

的長(zhǎng)度（可不必用尺規(guī)作圖）；
（3）請(qǐng)你計(jì)算出S²₁+S²₂+S²₃+…+S²₁₀的值=

 

；
（4）請(qǐng)你計(jì)算出S²₁+S²₂+S²₃+…+S²_n的值=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理

專(zhuān)題：計(jì)算題,規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)運(yùn)算規(guī)律，寫(xiě)出即可；
（2）分別作出直角三角形，使另一直角邊等于1即可得解；
（3）代入數(shù)據(jù)，然后利用求和公式計(jì)算即可得解；
（4）與（3）的思路相同求解即可．

解答：解：（1）含n的等式表示：（

n

）²+1=（

n+1

）²=n+1，S_n=

n

2

；

（2）如圖所示；

（3）S²₁+S²₂+S²₃+…+S²₁₀，
=（

1

2

）²+（

2

2

）²+（

3

2

）²+…+（

10

2

）²，
=

1

4

+

2

4

+

3

4

+…+

10

4

，
=

1

4

（1+2+3+…+10），
=

55

4

；

（4）S²₁+S²₂+S²₃+…+S²_n，
=（

1

2

）²+（

2

2

）²+（

3

2

）²+…+（

n

2

）²，
=

1

4

（1+2+3+…+n），
=

1

4

•

n(n+1)

2

，
=

n(n+1)

8

．
故答案為：（1）（

n

）²+1=（

n+1

）²=n+1，S_n=

n

2

；（3）

55

4

；（4）

n(n+1)

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，求和公式，讀懂題目信息，理解勾股定理是解題的關(guān)鍵．