Question

如圖二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，），且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x 軸上截得線段AB長(zhǎng)為6. （1）利用二次函數(shù)的對(duì)稱性直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為：A（，）；B（，）；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1） ∵對(duì)稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6， ∴ A（ 1，0 ）、B（ 7，0 ） （2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-h)2+k， ∵頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，且過(guò)點(diǎn)（0，） ∴y=a(x-4)2+k     ， …………① 又∵對(duì)稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6， ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………②， 由①②解得a=，k=， ∴二次函數(shù)的解析式為：或 （3）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式， 即直線DB為y=-+ （4）由（1）知點(diǎn)C(4，)， 又∵AM=3， ∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60o， ∵AC=BC，∴∠ACB=120o ①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，過(guò)Q作QN⊥x軸于N，如果AB=BQ， 由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，則∠QBN=60o， ∴QN=3，BN=3，ON=10，此時(shí)點(diǎn)Q(10，)， 如果AB=AQ，由對(duì)稱性知Q(-2，) ②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，△QAB就是△ACB，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4，)， 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(10，)與(-2，)都在拋物線上， 綜上所述，存在這樣的點(diǎn)Q，使△QAB∽△ABC，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 (10，)或(-2，)或(4，)．